Generalized $$\mathcal {W}$$-Gorenstein Modules
<jats:p> In this paper, we introduce the notion of generalized <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\mathcal {W}$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>W</mml:mi> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> -Gorenstein modules respect to some subclass <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\mathcal {W}$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>W</mml:mi> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , extending the classical notion of Gorenstein projective modules. By exploiting the correspondence between projective modules over the endomorphism ring <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\textrm{End}_R(C)$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mtext>End</mml:mtext> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> of a module <jats:italic>C</jats:italic> and elements of its additive closure <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\mathcal {W}=\textrm{Add}_R(C)$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mtext>Add</mml:mtext> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , we establish a fundamental correspondence between Gorenstein projective <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\textrm{End}_R(C)$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mtext>End</mml:mtext> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> -modules and generalized <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\textrm{Add}_R(C)$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mtext>Add</mml:mtext> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> -Gorenstein modules. This result refines existing relative homological settings and provides a natural extension of well-known results in Gorenstein homological algebra. We explore key properties, such as closure under direct summands and sums, and identify conditions under which the class of generalized <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\mathcal {W}$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>W</mml:mi> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> -Gorenstein modules coincides with other classes of modules, like Gorenstein projective modules. </jats:p>