Boundedness of commutators of Riesz potential operators on Musielak–Orlicz Hardy spaces
<p> The fractional integral operators <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper I Subscript alpha"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi> α </mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">I_\alpha</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> play an important role in the theory of Musielak–Orlicz Hardy spaces. This paper studies the boundedness of the commutators <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-bracket b comma upper I Subscript alpha Baseline right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi> α </mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">[b,I_\alpha ]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> generated by fractional integral operators <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper I Subscript alpha"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi> α </mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">I_\alpha</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="b"> <mml:semantics> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">b</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> on the Musielak–Orlicz Hardy spaces. We show that, under suitable assumptions on two growth functions <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi 1"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi> φ </mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\varphi _1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi 2"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi> φ </mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\varphi _2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="b element-of script upper B script upper M script upper O Subscript phi 1 Baseline left-parenthesis double-struck upper R Superscript n Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">B</mml:mi> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">M</mml:mi> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">O</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi> φ </mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">b\in \mathcal {BMO}_{\varphi _1}(\mathbb R^n)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , then the commutator <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-bracket b comma upper I Subscript alpha Baseline right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi> α </mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">[b,I_\alpha ]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is bounded from the Musielak–Orlicz Hardy spaces <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H Superscript phi 1 Baseline left-parenthesis double-struck upper R Superscript n Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi> φ </mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H^{\varphi _1}(\mathbb R^n)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> to the Musielak–Orlicz spaces <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L Superscript phi 2 Baseline left-parenthesis double-struck upper R Superscript n Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics>