Sharp inequalities between Zolotarev and Wasserstein distances in $$\mathcal {P}_2(\mathbb {R}^d)$$
<jats:p> Based on a new Kantorovich–Rubinstein duality principle for the Hessian that was recently established by the two authors, we extend the Rio inequality to any dimension <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$d \ge 1$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> with an optimal constant. Similarly, we propose an optimal upper bound for the ratio of Zolotarev distance <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$Z_2(\mu ,\nu )$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> to Wasserstein distance <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$W_2(\mu ,\nu )$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> when <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\mu ,\nu \in \mathcal {P}_2(\mathbb {R}^d)$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> are centred probabilities with prescribed variances. </jats:p>