A Strategy That Wins 99.9999% of the Time Has Expectation Exactly 0 ── Push the Win Rate Towards 1 and the Loss Grows at the Same Speed ── The Fence Is Built of Capital, Not Probability, and Doubling Merely Multiplies the Standard Deviation by 1024 ── [Paper 298]

Abstract

The doubling strategy──stake twice as much after every loss──can push the win rate arbitrarily close to 1. This paper asks whether the expectation moves with it──the answer is it stays exactly 0. No new mathematical theorem and no new law is claimed. Scope of this paper (scope note): No new mathematical theorem and no new law is claimed──the doubling strategy, martingales, the optional stopping theorem and its three sufficient conditions are all standard. We do not build probability theory──all we use is one geometric series and one expectation. We do not prove the optional stopping theorem──the sufficient conditions are merely quoted, and we do not enter the proof. We do not recommend gambling──this paper only counts how the expectation behaves. As Section 4 shows, in a game with a house edge the expectation is negative. We do not discuss optimal strategy──we do not enter the Kelly criterion, utility functions, or minimising the probability of ruin. We do not discuss real casinos──table limits and the practicalities of capital constraints are not treated. The bankroll 2^k-1 is a mathematical setting. We do not call variance evil──the factor of 1024 in Section 3 is a statement of fact, and we do not claim that large variance is always bad. We do not treat the tails──Paper 190 treated heavy tails and large deviations. This paper does not enter the shape of the distribution and counts only expectation and variance. Relation to earlier papers: Paper 143 showed that minimum entropy production is not a principle but a theorem with a fence──the optional stopping theorem here is likewise a theorem with a fence, of the same shape: remove the fence and the conclusion collapses. Paper 194 showed that the four means are one family with only one fence of equality──here too there is only one fence. Paper 220 counted four things called “independence”──the successive bets here are independent in one of those senses. Paper 190 measured “rare” on a logarithmic scale──the 2^-20 here is likewise read logarithmically. What is added is computing that the expectation is exactly 0 for every k, showing that the product of loss and probability is 1-2^-k and balances the gain exactly, measuring the standard deviation as 1024 times larger, computing that a house edge makes the expected loss 26.07 times larger, and naming the fence as capital rather than probability. First, the win rate can be raised without limit. A bankroll of 2^k-1 survives k consecutive losses, and at k=20 the win rate is 99.9999046% (Section 2). Second, this is the core of the paper. The expectation is nevertheless exactly 0 for every k──1-2^-k-1+2^-k=0 (Section 2). Third, the product of loss and its probability exactly balances the gain.2^-kx(2^k-1)=1-2^-k, which tends to 1 (Section 3). Fourth, what moved is the variance. At k=20 the standard deviation becomes 1024 times larger while the expectation stays 0 (Section 3). Fifth, with a house edge it gets worse. To win the same 1 unit, the expected loss becomes 26.07 times larger (Section 4). Sixth, the separator is capital, not probability. Make the capital unbounded and all three premises of the optional stopping theorem fail (Section 5). A strategy that wins 99.9999% of the time has expectation exactly 0. A bankroll of 2^k-1 survives k consecutive losses, and at k=20 the win rate is 99.9999046%──yet (1-2^-k)-2^-k(2^k-1)=0 holds identically. What balances is the product──lowering the losing probability to 2^-k and raising the loss to 2^k-1 are one and the same operation, and one cannot move only one of them. What moved was the variance alone──doubling multiplied the standard deviation by 1024 and left the expectation at 0. With a house edge it is worse still──chasing the same 1 unit makes the expected loss 26.07 times larger. One thing separates them──not probability, but capital. With unbounded capital all three premises of the optional stopping theorem fail, and a fair game yields a certain profit. The fence stands on the side of capital, not of probability. So the figure “a win rate of 99.9999%” guarantees nothing on its own. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. ----- 負けたら賭金を倍にする「倍賭け」は、勝率をいくらでも 1 に近づけられる。本稿が問うのは、それで期待値が動くかである──答は、ちょうど 0 のままである。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。 本稿の射程(射程注記):新しい数学定理も新しい法則も主張しない──倍賭け戦略、マルチンゲール、任意停止定理、その三つの十分条件は、いずれも標準的である。確率論を作らない──使うのは一つの等比級数と、一つの期待値の計算だけである。任意停止定理を証明しない──十分条件を引くだけであり、証明には立ち入らない。賭博を勧めない──本稿は期待値がどう振る舞うかだけを数える。第4節が示すとおり、胴元の取り分がある賭けでは期待値は負である。最適戦略を論じない──ケリー基準にも、効用関数にも、破産確率の最小化にも立ち入らない。現実の賭場を論じない──賭金上限も、資金制約の実際も扱わない。資金 2^k-1 は数学的な設定である。分散を悪だと言わない──第3節の 1024 倍は事実の記述であって、分散が大きいことが常に悪いとは主張しない。裾の分布を扱わない──論文190 が重い裾と大偏差を扱った。本稿は分布の形に入らず、期待値と分散だけを数える。既刊との関係:論文143 は最小エントロピー生成が原理ではなく柵つきの定理だと示した──本稿の任意停止定理も柵つきの定理であり、柵が外れると結論が崩れるという同じ形である。論文194 は四つの平均が一つの族であり、等号の柵が一つしかないと示した──本稿も柵が一つだけである。論文220 は「独立」が四つあると数えた──本稿の各回の賭けはそのうち一つの意味で独立である。論文190 は「稀」を対数の目盛りで測った──本稿の 2^-20 も対数で読む。加えたのは期待値が k によらず厳密に 0 になると計算したこと、負ける確率と損失の積が 1-2^-k で利得とちょうど釣り合うと示したこと、標準偏差が 1024 倍になると測ったこと、胴元の取り分があると期待損失が 26.07 倍になると計算したこと、柵を「確率ではなく資金」と名指したことである。 第一に、勝率はいくらでも上げられる。資金 2^k-1 で k 連敗まで耐えられ、k=20 なら勝率は 99.9999046% である(第2節)。 第二に、これが本稿の芯である。それでも期待値は k によらずちょうど 0──1-2^-k-1+2^-k=0 である(第2節)。 第三に、負ける確率と損失の積が、利得とちょうど釣り合う。2^-kx(2^k-1)=1-2^-k であり、k->infinity で 1 に近づく(第3節)。 第四に、動いたのは分散である。 k=20 で標準偏差が 1024 倍になり、期待値は 0 のままである(第3節)。 第五に、胴元の取り分があると悪化する。同じ 1 単位を勝つのに、期待損失が 26.07 倍になる(第4節)。 第六に、分離子は確率ではなく資金である。資金を無限にすると任意停止定理の前提が三つとも破れる(第5節)。 勝率 99.9999% の戦略の期待値は、ちょうど 0 である。資金 2^k-1 で k 連敗まで耐えられ、k=20 なら勝率は 99.9999046%──それでも (1-2^-k)-2^-k(2^k-1)=0 が恒等的に成り立つ。釣り合っているのは積である──負ける確率を 2^-k に下げる操作と、損失を 2^k-1 に上げる操作が、同じ一つの操作であり、片方だけを動かすことはできない。動いたのは分散だけである──倍賭けは標準偏差を 1024 倍にし、期待値は 0 のまま置いた。胴元の取り分があれば、さらに悪い──同じ 1 単位を狙うのに、期待損失が 26.07 倍になる。分けるものは一つ──確率ではなく、資金。資金が無限なら任意停止定理の前提が三つとも破れ、公平な賭けから確実な利益が出てしまう。柵は確率の側ではなく、資金の側に立っている。だから「勝率 99.9999%」という数字は、それだけでは何も保証しない。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。