Examples of Nondistinguished Function Spaces C p (X)

Abstract

<jats:p> In the pointwise topology, familiar function spaces <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">C_{p}(\beta\mathbb{N})</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mi mathvariant="double-struck">N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">C_{p}(\mathbb{R})</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">C_{p}\left[ 0,1\right]</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo fence="true">[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo fence="true">]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , and <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">C_{p}(\text{Cantor set})</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mtext>Cantor set</mml:mtext> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> are not distinguished. </jats:p>