On Poidge-Convexity

Abstract

<jats:p> Let <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\mathcal{F}</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script">F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> be a family of sets in <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\mathbb{R}^d\ (\mathrm{always}\ d\geq 2)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msup> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">a</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">l</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">w</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">a</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">s</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . A set <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">M\subset\mathbb{R}^d</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is called <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\mathcal{F}</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script">F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> -convex, if for any pair of distinct points <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">x, y \in M</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , there is a set <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">F\in \mathcal{F}</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi mathvariant="script">F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> such that <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">x, y \in F</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> and <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">F \subset M</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . We obtain the poidge-convexity, when <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\mathcal{F}</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script">F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> consists of all unions <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\{x\}\cup \sigma</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">}</mml:mo> <mml:mo>∪</mml:mo> <mml:mi>σ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , called poidges, where <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">x</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is a point, <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\sigma</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> a line-segment, and <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\mathrm{ conv}(\{x\}\cup \sigma)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">c</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">o</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">}</mml:mo> <mml:mo>∪</mml:mo> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> a right triangle. In this paper we first present several new results on the poidge-convexity of variou