Numerical Methods and Algorithms for Phase-Field Fracture Modeling

Abstract

Fracture mechanics is essential for predicting the failure of materials and structures. The Phase-Field Fracture (PFF) method has emerged as a powerful computational tool, overcoming the limitations of classical discrete approaches by modeling cracks as diffuse damage bands. This formulation eliminates the need for explicit crack tracking and naturally handles complex topologies like branching and merging. However, despite its success, the method faces significant numerical and physical challenges, particularly regarding the robust enforcement of inequality constraints in some regularization models, the accurate measurement of geometric quantities distorted by strain localization, and the high computational cost of cycle-by-cycle fatigue simulations. The computational challenge of fatiguewhere phase-field fracture approaches typically rely on cycle-by-cycle simulations to accumulate damage over thousands of cycles, leading to prohibitive computational costsis addressed in this thesis through a framework that enables fatigue analysis using only monotonic loading. This is made possible by a specialized energy-controlled solver designed to robustly track the complete crack equilibrium path, capturing instabilities such as snap-back. By performing a single quasi-static simulation, the method numerically extracts the compliance rate of the structure with respect to the crack area, which is then used to bridge the results with Linear Elastic Fracture Mechanics (LEFM) and integrate Paris' law. This allows for the prediction of fatigue life with drastically reduced computational effort while maintaining the topological flexibility of the phase-field method. To ensure the accuracy of the geometric quantities extracted from these simulations, the work addresses the issue of crack area overestimation caused by numerical strain localization, which also affects the force and displacement values returned by the simulations. The Double Gradient Correction Method (DGCM) is proposed, founded on the principle of energy equipartition, where the energy contributions from the phase-field and its gradient are equal as the length-scale parameter approaches zero. Since numerical artifacts primarily affect the phase-field term while leaving the gradient term largely unperturbed, the crack area can be accurately approximated as twice the gradient-dependent energy. This method is inherently mesh-independent and readily applicable to the entire domain, including 3D simulations. Finally, to enhance the robustness of constrained phase-field models beyond standard formulations, the Latent Variable Proximal Point (LVPP) algorithm is presented. In phase-field fracture simulations, the phase-field variable must remain within an admissible range typically between 0 (undamaged) and 1 (fully damaged) and satisfy an irreversibility condition to ensure damage does not decrease. While some standard models naturally respect the phase-field interval constraint, other regularizations require these physical constraints to be explicitly and robustly imposed. To address this, the LVPP framework reformulates these inequality-constrained problems as a sequence of unconstrained saddle-point problems via an auxiliary latent variable. This allows for the use of efficient Proximal Galerkin discretizations, providing a rigorous and robust solution that avoids the parameter sensitivity and convergence issues associated with traditional penalty methods. All methodologies developed in this thesis are implemented in PhaseFieldX, an open-source software package designed to ensure reproducibility and to facilitate future research in the field. RESUMEN La mecánica de fractura es esencial para predecir el fallo de materiales y estructuras. El método de Fractura por Campo de Fase (PFF) ha emergido como potente herramienta computacional, modelando las grietas como bandas de daño difuso y superando limitaciones de enfoques discretos clásicos. Esta formulación elimina el seguimiento explícito de grietas y maneja topologías complejas como ramificación y fusión. Pese a su éxito, enfrenta importantes retos numéricos y físicos, especialmente en la imposición de restricciones de desigualdad en algunos modelos, la medición precisa de cantidades geométricas distorsionadas por la localización de deformaciones, y el alto coste computacional de simulaciones de fatiga ciclo a ciclo. Para abordar el desafío computacional de la fatiga donde las simulaciones ciclo a ciclo imponen costes prohibitivos, esta tesis introduce un marco de análisis de fatiga usando solo carga monótona. Mantiene la flexibilidad topológica del método empleando un solucionador especializado controlado por energía que traza la trayectoria completa de equilibrio de la grieta, capturando inestabilidades como el "snap-back". Con una única simulación cuasi-estática, se extrae numéricamente la tasa de flexibilidad de la estructura respecto al área de la grieta, conectando los resultados con la Mecánica de Fractura Elástica Lineal (LEFM) e integrando la ley de Paris. Esto permite predecir la vida a fatiga reduciendo drásticamente el esfuerzo computacional. Para garantizar la precisión de las cantidades geométricas extraídas, se aborda la sobreestimación del área de grieta debida a la localización numérica de deformaciones, que también afecta a fuerzas y desplazamientos. Se propone el Método de Corrección de Doble Gradiente (DGCM), basado en la equipartición de energía, donde las contribuciones de energía del campo de fase y su gradiente se igualan cuando el parámetro de escala tiende a cero. Como los artefactos numéricos afectan principalmente al campo de fase, dejando inalterado al gradiente, el área se aproxima con precisión como el doble de la energía del gradiente. Este método es independiente de la malla y aplicable a todo el dominio, incluyendo problemas en 3D. Finalmente, para mejorar la robustez de los modelos de campo de fase con restricciones, se presenta el algoritmo de Punto Proximal de Variable Latente (LVPP). En simulaciones PFF, el campo de fase debe acotarse, típicamente entre 0 (sin daño) y 1 (completamente dañado), y cumplir una condición de irreversibilidad para que el daño no disminuya. Aunque algunos modelos estándar respetan sus márgenes de manera natural, otras regularizaciones exigen que estas restricciones se impongan de forma explícita. El marco LVPP reformula estos problemas de minimización con restricciones de desigualdad como una secuencia de problemas de punto de silla sin restricciones usando una variable latente auxiliar. Esto permite usar discretizaciones de Proximal Galerkin, aportando una solución rigurosa y robusta que evita la sensibilidad y falta convergencia de los métodos de penalización. Todas las metodologías desarrolladas en esta tesis se han implementado en PhaseFieldX, un paquete de software de código abierto diseñado para garantizar la reproducibilidad y facilitar la investigación futura en el campo.