Rare events in one dimension : transport and first passage

Abstract

Cette thèse est consacrée à l'étude des statistiques d'événements rares dans les systèmes stochastiques unidimensionnels. Nous examinons en détail deux systèmes : un ensemble de particules browniennes non interactives avec une condition initiale en échelon, et un processus à sauts avec dérive. Pour chacun d'eux, nous combinons des méthodes analytiques et numériques afin d'obtenir des résultats quantitatifs précis allant bien au-delà de ce que permettent les approximations gaussiennes. De plus, nous développons une stratégie d'échantillonnage préférentiel, dite inclinaison locale, pour l'étude numérique des statistiques de comptage dans les systèmes unidimensionnels. Pour le système de particules browniennes, nous nous intéressons à deux observables : la densité du temps local à l'origine et le temps d'occupation sur la demi-droite positive. Une caractéristique remarquable de tels systèmes est que leurs statistiques conservent une mémoire à long terme des conditions initiales, qui persiste même pour des temps d'observation arbitrairement grands. Nous calculons les moyennes et les variances de ces deux observables et dérivons les fonctions de taux de grandes déviations correspondantes pour les cas quenched et annealed. Pour le processus à sauts avec dérive, nous étudions les propriétés de premier passage. Nous introduisons une correspondance avec une marche aléatoire discrète effective et obtenons la distribution jointe du temps de premier passage et du nombre de sauts. Nous établissons un diagramme de phases comportant deux régimes séparés par un point critique : le régime de survie (dérive faible), où le processus présente une probabilité finie de ne jamais franchir l'origine, et le régime d'absorption (dérive forte), où le premier passage a lieu avec certitude. Nous confirmons que ce comportement reste valable pour des distributions à queue légère arbitraires.