Hausdorff Dimension of Cut Loci of Generic Subspaces of Euclidean Spaces

Abstract

<jats:p> Let <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">F</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> be a closed set of the Euclidean space <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\Bbb{E}^d</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="double-struck">E</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , with <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\emptyset\not=F\not=\Bbb{E}^d</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∅</mml:mi> <mml:mo>≠</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>≠</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="double-struck">E</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> and <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">d\geq 2</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . Let <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\mathcal{N}</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script">N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> be the set of centers of all open balls contained in <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\Bbb{E}^d \setminus F</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="double-struck">E</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>∖</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> which are maximal with respect to inclusion. We prove that the Hausdorff dimension <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\mathrm{dim_H}(\mathcal{N})</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">i</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">m</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">H</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="script">N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\mathcal{N}</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script">N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> equals <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">d</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> when <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">F</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is, in the sense of Baire categories, a generic compact subset of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\mathbb{E}^d</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="double-struck">E</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , or when <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\Bbb{E}^d \setminus F</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="double-struck">E</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>∖</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is the interior of a generic convex body of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\mathbb{E}^d</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="double-struck">E</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . If <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">C</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is a generic convex body, we deduce that the set of all points of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\partial C</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow>