The Gauss Map of a Nonsmooth Convex Cone and the Antipodal Mate Property

Abstract

<jats:p> We discuss some aspects concerning the angular structure of a closed convex cone <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">K</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> in a Euclidean vector space <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">E</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . The cone under consideration is assumed to be pointed and solid, but not necessarily smooth. Its Gauss map <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">G_K</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is therefore to be understood in a multivalued sense. By definition, <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">G_K</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> assigns to a boundary point <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">u</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">K</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> the set <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">G_K(u):= N_K(u)\cap S_E</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>∩</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , where <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">S_E</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is the unit sphere of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">E</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> and <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">N_K</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is the normal cone map of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">K</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> in the sense of convex analysis. By a positive homogeneity argument, there is no loss of generality in assuming that <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">u</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> has unit length. Among other issues, we elaborate on the connection between <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">G_K(u)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> and the set <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">M_K(u)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> of antipodal mates of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">u</jats:tex-math>