That the Same Ellipse Was Three Months Out Was the Evidence of a Different Cause ── Aberration Is 20.49552 Arcseconds Whatever the Distance, While Parallax Goes as Its Reciprocal ── A Factor of 26.6442 at Proxima and 20495 at a Kiloparsec ── [Paper 328]

Abstract

Over a year a star traces a small ellipse on the sky. This paper asks whether that ellipse is one thing──the answer is that there are two, and they are told apart by phase. No new mathematical theorem and no new law is claimed. Scope of this paper (scope note): No new mathematical theorem and no new law is claimed──aberration, annual parallax, Bradley’s observation of 1728, and the definition of the constant of aberration are all standard. We do not build celestial mechanics──all we use is two angles and the phase between them. We do not treat this relativistically──the relativistic formula for aberration is not entered. We look only where first order in v/c suffices. We do not treat proper motion──a star’s own motion is not periodic and so separates from both of these. It is mentioned and no more. We do not adjudicate the history──who first saw what is not entered. We do not treat the distance ladder──the rungs beyond parallax belong to Paper 297. Relation to earlier papers: Paper 297 showed the cosmic distance scale to be a ladder of seven rungs with only the first measured directly──that first rung is parallax, and this paper looks at the other ellipse standing beside it. Paper 325 showed the radius not entering the angle of a rainbow──the same form, with distance not entering aberration here. Paper 300 showed whether two things share a root is decidable──this is an instance of “same shape, different root”, and what decided it was not a value but a phase. Paper 327 showed two curves agreeing to within 0.083 per cent──there the appearance is the same and the things differ; here the size can be the same and the things differ. Paper 313 showed the corpus using “synchrony” in several senses──phase is again the tool that decides. What is added is giving the constant of aberration from both a simple calculation and the literature and stating the difference, tabulating the ratio across three decades of distance, solving for the distance at which the two would be equal, and putting the separator on position against velocity. First, aberration is 20.49552 arcseconds (Section 2). Second, this is the core of the paper. Aberration does not depend on distance; parallax goes as its reciprocal (Section 3). Third, even the nearest star opens by 26.6442. At a kiloparsec, 20495 (Section 3). Fourth, amplitude cannot always separate them. At some distance the two would be equal (Section 3). Fifth, their phases differ by a quarter. That is how Bradley told them apart (Section 4). Sixth, the separator is whether the effect is set by position or by velocity (Section 5). Over a year a star traces a small ellipse on the sky, and two causes are possible──annual parallax, because the Earth’s position changes, and aberration, because its velocity does. Both have a period of one year, both are ellipses, and the shape does not distinguish them. Aberration follows from tanalpha=v/c and is 20.49552 arcseconds, about 1/88 of the apparent diameter of the full moon──(the simple calculation here, 20.492697, differs by 0.0138 per cent, because kappa is defined to include the eccentricity, so this paper uses the literature value). And the distance to the star is nowhere in that formula──it contains only the observer’s speed and the speed of light, not one piece of information about the thing being looked at. Even Proxima is out by 26.6442, and at a kiloparsec by 20495.5200. The distance at which the two would be equal is 0.159135 light years, and no such star exists──so on amplitude alone, aberration always wins. What separated them was not amplitude but phase──in circular motion the velocity points a quarter period ahead of the position, so the two ellipses are exactly three months apart. In 1728 Bradley, hunting for parallax, found an ellipse in the wrong season and knew it was not his quarry. A mismatch in amplitude would have been weak evidence──without the distance there is no predicted parallax to compare against, whereas the phase can be predicted without knowing the distance at all. One thing separates them──whether the effect is set by the observer’s position or by the observer’s velocity. Settle that and the distance dependence and the phase follow automatically, so three apparently independent differences are one. Paper 297 wrote that the first rung of the distance ladder is parallax──this paper says that immediately beside it sits an ellipse of the same shape containing no distance at all. The first rung does not stand by itself. One last thing──Bradley failed to find what he was looking for and found what he was not. And it became a measurement of the speed of light, because v/c can be read off from an angle of 20 arcseconds. A failure to find became the ruler for something else. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. ----- 恒星は一年かけて空に小さな楕円を描く。本稿が問うのは、その楕円は一種類かである──答は、二種類あり、位相で見分けられるである。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。 本稿の射程(射程注記):新しい数学定理も新しい法則も主張しない──光行差、年周視差、ブラッドリーの 1728 年の観測、光行差定数の定義はいずれも標準的である。天体力学を作らない──使うのは二つの角度と、その位相差だけである。相対論的な扱いをしない──光行差の相対論的公式には立ち入らない。 v/c の一次までで足りる場面だけを見る。固有運動を扱わない──恒星自身の運動は周期的でないので、本稿の二つとは分けられる。触れるにとどめる。測定の歴史を裁定しない──誰が最初に何を見たかの帰属には立ち入らない。距離はしごを扱わない──視差より遠い段は論文297 の射程である。既刊との関係:論文297 は宇宙の距離が七段のはしごで、直接測られているのは一段目だけだと示した──その一段目が視差であり、本稿はその隣に立つもう一つの楕円を見る。論文325 は虹の角度に半径が入らないと示した──同じ型であり、ここでは光行差に距離が入らない。論文300 は同根か別根かは判定できると示した──本稿は「同じ形をしていても別根」の実例であり、判定に使ったのは値ではなく位相である。論文327 は二つの曲線が 0.083 パーセントしか違わないと示した──そこでは見た目が同じで別物、ここでは大きさが同じでも別物である。論文313 は体系が「同期」を複数の意味で使ってきたと示した──位相という語がここでも判定の道具になっている。加えたのは光行差定数を単純計算と文献値の両方で示し、その差を明示したこと、距離ごとの比を三桁にわたって出したこと、二つが同じ振幅になる距離を求めたこと、分離子を位置と速度の別に置いたことである。 第一に、光行差は 20.49552 秒角である(第2節)。 第二に、これが本稿の芯である。光行差は距離に依らず、視差は距離に反比例する(第3節)。 第三に、最も近い恒星でも 26.6442 倍ひらく。1 キロパーセクなら 20495 倍(第3節)。 第四に、振幅では分けられない場合がある。ある距離では二つが同じ大きさになる(第3節)。 第五に、位相が四分の一ずれている。ブラッドリーはそれで見分けた(第4節)。 第六に、分離子は「位置で決まるか、速度で決まるか」である(第5節)。 恒星は一年かけて空に小さな楕円を描き、その原因は二つありうる──地球の位置が変わるからの年周視差と、地球の速度が変わるからの光行差である。どちらも一年周期の楕円で、形では区別がつかない。光行差は tanalpha=v/c から出て 20.49552 秒角、満月の見かけの直径の約 1/88 である──(本稿の単純計算 20.492697 は文献値と 0.0138 パーセント違い、kappa は離心率を含む定義なので、本稿が使うのは文献値である)。そしてこの式には、恒星までの距離が入っていない──現れるのは観測者の速度と光速だけで、見ている相手の情報が一つも入らない。最も近いプロキシマですら視差の 26.6442 倍、1 キロパーセクでは 20495.5200 倍ひらく。二つが同じ大きさになる距離は 0.159135 光年で、そんな恒星は存在しない──振幅の大小では、常に光行差が勝つ。分けたのは振幅ではなく、位相である──円運動では速度は位置の四分の一周期先を向くので、二つの楕円はちょうど三ヶ月ずれる。ブラッドリーは 1728 年、視差を探していて楕円を見つけ、季節がずれていることで探し物ではないと知った。振幅が合わないことは証拠として弱い──距離を知らなければ視差の予想値が立たないからで、位相は距離を知らなくても予想できる。分けるものは一つ──その効果が観測者の位置で決まるか、速度で決まるか。それが決まれば距離依存も位相も自動的に決まり、独立に見えた三つの違いが一つの違いになる。論文297 は距離のはしごの一段目が視差だと書いた──本稿はその一段目のすぐ隣に、距離を一切含まない同じ形の楕円が乗っていることを言う。はしごの一段目は、単独では立っていない。最後に一つ──ブラッドリーは探していたものを見つけられず、探していなかったものを見つけた。そしてそれは光速の測定になった。20 秒角という角度から v/c が読めるからである。見つからなかったことが、別のものの物差しになった。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。