M-Structures in Vector-Valued Polynomial Spaces

Abstract

<jats:p> This paper is concerned with the study of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">M</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> -structures in spaces of polynomials. More precisely, we discuss for <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">E</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> and <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">F</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> Banach spaces, whether the class of weakly continuous on bounded sets <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">n</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> -homogeneous polynomials, <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\mathcal P_w(^n E, F)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="script">P</mml:mi> <mml:mi>w</mml:mi> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , is an <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">M</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> -ideal in the space of continuous <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">n</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> -homogeneous polynomials <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\mathcal P(^n E, F)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script">P</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . We show that there is some hope for this to happen only for a finite range of values of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">n</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . We establish sufficient conditions under which the problem has positive and negative answers and use the obtained results to study the particular cases when <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">E=\ell_p</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">ℓ</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> and <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">F=\ell_q</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">ℓ</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> or <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">F</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is a Lorentz sequence space <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">d(w,q)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . We extend to our setting the notion of property <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">(M)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> introduced by Kalton which allows us to lift <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">M</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow>