Continuity Properties of Concave Functions in Potential Theory

Abstract

<jats:p> Given a bounded open set <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">U</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>U</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> in <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\mathbb{R}^d</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , the space of all continuous real functions on <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\overline U</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mo stretchy="true">‾</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> which are harmonic on <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">U</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>U</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is denoted by <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">H(U)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . Further, a lower bounded, Borel measurable numerical function <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">s</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> on <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\overline U</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mo stretchy="true">‾</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is said to be <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">H(U)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> -concave if <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\int s\,d\mu\le s(x)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> for every <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\def\hk{H_0(K)}\def\ov{\overline}\def\real{\mathbb{R}}x\in\ov U</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mover accent="true"> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mo stretchy="true">‾</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> and every measure <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\mu</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> on <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\overline U</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mo stretchy="true">‾</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> satisfying <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\int h\,d\mu= h(x)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> for all <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">h\in H(U)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . It is shown that every <jats:inline-fo