Variable selection in multivariate Poisson log-normal model

Abstract

Dans cette thèse, nous répondons à une attente pratique dans l'analyse de données microbiologiques. L'objectif est de modéliser des données de comptage multivariées à partir de variables explicatives, tout en identifiant celles qui sont pertinentes. Les nombreuses méthodes existantes pour modéliser ce type de données altèrent souvent la nature discrète des données ou ne tiennent pas compte des interactions potentielles entre les comptages. Une solution possible repose sur le recours à des modèles à variables latentes, comme le modèle de Poisson Log-Normal (PLN). Certaines extensions de ce modèle se focalisent aux réseaux d'interactions entre les comptages en incluant l'effet des variables explicatives. Une hypothèse de parcimonie dans le réseau est alors formulée et les interactions pertinentes dans ce réseau sont identifiées. Cependant, peu de travaux s'intéressent à l'hypothèse de l'existence d'un sous-ensemble de variables pertinentes influençant les comptages. Nous proposons d'injecter une information a priori sous forme de pénalisation dans la fonction objectif du modèle PLN. Cela nous conduit à optimiser un critère d'information lissé (SIC pour Smooth Information Criterion), permettant d'induire de la parcimonie sur le support des coefficients associés aux variables explicatives. La méthode résultante, que nous appelons SICPLN (pour Smooth Information Criterion in PLN), permet d'obtenir des solutions plus parcimonieuses et des estimateurs moins biaisés. Nous avons également fourni des résultats théoriques, ainsi qu'une distribution a priori associée à ce critère dans un cadre bayésien. Des résultats numériques, de même que des applications sur des données réelles, sont présentés afin de mettre à l'épreuve la méthode proposée et d'illustrer ce qu'elle peut donner en pratique. Dans la deuxième partie, nous avons mis à contribution la méthode développée afin d'extraire des connaissances à partir de la base de données du projet Amont Saint-Nectaire, qui vise à comprendre la structuration des communautés microbiennes durant le processus de production du lait, ainsi qu'à identifier les variables pertinentes influençant ces communautés microbiennes issues de plusieurs écosystèmes. L'analyse des données de ce projet a permis la mise en œuvre de l'ensemble des approches méthodologiques développées dans cette thèse. La troisième partie correspond à une extension directe du SIC au modèle PLN à inflation de zéros, appelée SICZIPLN (pour Smooth Information Criterion in Zero-Inflated PLN), qui a pour objectif de prendre en compte la forte proportion de zéros dans les données de comptage. Nous avons également testé l'efficacité de la méthode sur des données simulées et réelles. Dans la quatrième partie, nous proposons une reformulation du modèle PLN appelée DeepPLN (pour Deep Learning in PLN), qui combine des outils d'apprentissage profond et de modèles génératifs. Les premières études de simulation concernant ce modèle laissent émerger de nombreuses perspectives, permettant de capturer des structures complexes dans les données de comptage multivariées.