Multiple Normalized Solutions for p-Laplacian Schrödinger–Poisson Systems

Abstract

<jats:p> In this article, we investigate the existence and multiplicity of normalized solutions for the <jats:inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:math> </jats:inline-formula> -Laplacian Schrödinger–Poisson system: <jats:disp-formula> <jats:alternatives> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mtable columnalign="left left" columnspacing="1em" displaystyle="false" rowspacing=".2em"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>κ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>*</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mtext>in </mml:mtext> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mspace width="0.5pt"/> </mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mtext>in </mml:mtext> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> <jats:graphic xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" orientation="portrait" position="float" xlink:href="10.1177_09217134261478283-eq1.tif"/> </jats:alternatives> </jats:disp-formula> where <jats:inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:math> </jats:inline-formula> represents the prescribed <jats:inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> </jats:inline-formula> -norm, <jats:inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mi>κ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>∖</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> </mml:math> </jats:inline-formula> is a parameter, and <jats:inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:inline-formula> appears as an undetermined Lagrange mul