Existence of Many Nonradial Positive Solutions of the Hénon Equation in R 3

Abstract

<jats:p> Let <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">B_1</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> be the open unit ball in <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\mathbb{R}^3</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> and let <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">2<p<6</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mn>6</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . We show that for each <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">m\in \mathbb{N}</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck">N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , there exists <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\alpha_0>0</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> such that for each <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\alpha\geq \alpha_0</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , there exist at least <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">m</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> nonradial positive solutions of <jats:disp-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">-\Delta u = |x|^\alpha |u(x)|^{p-2}u(x) \quad\text{in $B_1$,}\qquad u = 0 \quad\text{on $\partial B_1$,}</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∣</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="normal">∣</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi mathvariant="normal">∣</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="normal">∣</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mrow> <mml:mtext>in </mml:mtext> <mml:mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mstyle> <mml:mtext>,</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mspace width="2em"/> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mrow> <mml:mtext>on </mml:mtext> <mml:mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"> <mml:mi mathvariant="normal">∂</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mstyle> <mml:mtext>,</mml:mtext> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:disp-formula> which are mutually nonequivalent if <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">m\geq 2</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . </jats:p>