Conic James' Compactness Theorem
Abstract
<jats:p> The following results is proved: Let <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">A</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> be a convex bounded non weakly relatively compact subset of a Banach space <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">E</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . We consider a convex weakly compact subset <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">D</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">E</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> which does not contain the origin. Then there is a sequence <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\left\{x_n^*\right\}_{n\ge 1}</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo fence="true">{</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mo fence="true">}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> in <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">B_{E^*}</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> and <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">g_0^*\in \hbox{co}_{\sigma}\{x_n^*:n\ge 1\}</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mtext>co</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">{</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> such that for all <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">h\in \ell_\infty (A)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">ℓ</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> satisfying that for all <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">a\in A,</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> <jats:disp-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\liminf_{n\ge 1}x_n^*(a) \le h(a) \le\limsup_{n\ge 1}x_n^*(a),</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">lim inf</mml:mi> <mml:mo></mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msubsup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">lim sup</mml:mi> <mml:mo></mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msubsup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>