Infinite Sidon-type sets for zero-sum linear forms

Abstract

<jats:p> Let <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$h \ge 2$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , and let <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\textbf{b} = (b_1,\dots ,b_h)\in \mathbb {Z}^h$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mi>h</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>h</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> be a zero-sum vector with nonzero coordinates. For a set <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$A=\{a_1<a_2<\cdots \}\subseteq \mathbb {N}$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo><</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>}</mml:mo> <mml:mo>⊆</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , let <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$r_{A,\textbf{b}}(n)$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> denote the number of <jats:italic>h</jats:italic> -tuples <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$(x_1,\ldots ,x_h)$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>h</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> of pairwise distinct elements of <jats:italic>A</jats:italic> satisfying <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$b_1x_1+\cdots +b_hx_h=n$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mi>h</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>h</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . We study density restrictions on sets <jats:italic>A</jats:italic> for which these representation counts remain small, obtaining analogues of the classical density theorem for infinite Sidon sets. In the case <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\textbf{b} = (c_1,-c_1,\dots ,c_k,-c_k)$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , we prove that if <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$A(x)/(x/\log x)^{1/2k}\rightarrow \infty $$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <m