"Fitness" Is Four Quantities, and One of Them Changes Sign When the Population Changes ── The Same Individual Goes from Favoured to Disfavoured by Swapping Its Neighbours ── Across Generations, Only the Logarithm Adds ── [Paper 307]

Abstract

The sentence “its fitness is high” points at one of four different quantities. This paper asks whether the four behave alike──the answer is only one depends on the population. No new mathematical theorem and no new law is claimed. Scope of this paper (scope note): No new mathematical theorem and no new law is claimed──absolute and relative fitness, the Malthusian parameter, inclusive fitness, and Hamilton’s rule are all standard. We do not build evolutionary biology──all we use is one division and one logarithm. We do not measure fitness──how W is estimated in real organisms is not treated at all. Only the relations among the definitions are. We do not discuss the theory of selection──we do not enter the Price equation or the dynamics of population genetics. The numbers are invented examples──the W=2.0, 1.0, 3.0 of Section 2 are numbers placed to display the structure, not measurements. We assert nothing about applying Hamilton’s rule──both the definition of relatedness r and the measurement of inclusive fitness are debated. This paper uses only the form of the inequality rB>C. We do not apply it to humans──it is not used to explain behaviour. It is a roll call of definitions. Relation to earlier papers: Paper 292 showed that only the logarithm adds──the Malthusian parameter here is that logarithm, the same structure standing in another field. Paper 240 counted seven things called “mass,” one changing with the direction of the push──“fitness” here is four things, one changing with its neighbours. Paper 112 counted “six distinct roots sharing one rhyme”──this too is several under one word. Paper 194 showed the four means are one family──Section 3 here is a case where which member of that family is used changes the answer. What is added is separating the four by whether they depend on the population, computing that w falls from 1.3333 to 0.8000 and changes sign for one unchanged individual, showing the arithmetic mean 1.25 against the true factor 1.000000, and confirming that two brothers and eight cousins both give 1.0. First, there are four. Absolute fitness W, relative fitness w, the Malthusian parameter m, and inclusive fitness (Section 1). Second, this is the core of the paper. The same individual keeps W=2.0 and m=+0.693147, yet w alone falls from 1.3333 to 0.8000 (Section 2). Third, the sign changes too. Favoured or not is decided at w=1, so the same individual goes from favoured to disfavoured (Section 2). Fourth, across generations only the logarithm adds. The arithmetic mean of W is 1.25, yet the true factor after four generations is 1.000000 (Section 3). Fifth, inclusive fitness counts a different set. Under Hamilton’s rule, two brothers and eight cousins both come to 1.0 (Section 4). Sixth, the separator is what one divided by (Section 5). “Its fitness is high” points at one of four different quantities──absolute fitness W, relative fitness w, the Malthusian parameter m, and inclusive fitness. And only one depends on the population──an individual keeps W=2.0 and m=+0.693147 unchanged, yet swapping its neighbours drops w from 1.3333 to 0.8000. Since w=1 is the boundary, the same individual goes from favoured to disfavoured──having changed in nothing. Across generations there is a second trap──the arithmetic mean of W is 1.25 and looks like growth, while the true factor after four generations is 1.000000. Only the logarithm (the Malthusian parameter) adds, the same structure Paper 292 showed for rates of return. Inclusive fitness counts a different set again──under Hamilton’s rule, two brothers and eight cousins both come to exactly 1.0. One thing separates them──what one divided by, and what one counted. Only the quantity divided by the population mean depends on the population. The dependence enters through the division, not through any property of the organism. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. ----- 「適応度が高い」という一文は、四つの別の量のどれかを指している。本稿が問うのは、その四つは同じ振舞いをするかである──答は、一つだけが集団に依存するである。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。 本稿の射程(射程注記):新しい数学定理も新しい法則も主張しない──絶対適応度、相対適応度、マルサス係数、包括適応度、ハミルトン則は、いずれも標準的である。進化生物学を作らない──使うのは一つの割り算と、一つの対数だけである。適応度を測らない──実際の生物で W をどう推定するかは一切扱わない。定義の間の関係だけを扱う。自然選択の理論を論じない──プライス方程式にも、集団遺伝学の動態にも立ち入らない。数値は作った例である──第3節の W=2.0、1.0、3.0 は構造を見せるために置いた数であり、実測ではない。ハミルトン則の適用を主張しない──血縁度 r の定義にも、包括適応度の測り方にも議論がある。本稿は rB>C という不等式の形だけを使う。人間に当てはめない──行動の説明としては使わない。定義の点呼である。既刊との関係:論文292 は足せるのは対数だけだと示した──本稿のマルサス係数はまさにその対数であり、別の分野に同じ構造が立っている。論文240 は「質量」が七つあり、一つは押す向きで変わると数えた──本稿の「適応度」は四つあり、一つは周りで変わる。論文112 は「同じ韻を踏む六つの別根」を数えた──本稿も一語の下の複数である。論文194 は四つの平均が一つの族だと示した──本稿の第4節はその族のどれを使うかで答が変わる場合である。加えたのは四つを「集団に依存するか」で分けたこと、同じ個体の w が 1.3333 から 0.8000 へ落ち符号が変わると計算したこと、W の算術平均 1.25 に対し実際が 1.000000 倍だと示したこと、ハミルトン則で兄弟 2 人といとこ 8 人が同じ 1.0 になると確かめたことである。 第一に、四つある。絶対適応度 W、相対適応度 w、マルサス係数 m、包括適応度である(第2節)。 第二に、これが本稿の芯である。同じ個体の W が 2.0、m が +0.693147 のまま変わらないのに、w だけが 1.3333 から 0.8000 へ落ちる(第3節)。 第三に、符号まで変わる。 w=1 を境に有利・不利が決まるので、同じ個体が有利から不利になる(第3節)。 第四に、世代をまたぐと足せるのは対数だけである。 W の算術平均は 1.25 だが、実際の 4 世代後は 1.000000 倍である(第4節)。 第五に、包括適応度は数える対象が違う。ハミルトン則で、兄弟 2 人といとこ 8 人がどちらも 1.0になる(第5節)。 第六に、分離子は「何で割ったか」である(第6節)。 「適応度が高い」という一文は、四つの別の量のどれかを指している──絶対適応度 W、相対適応度 w、マルサス係数 m、包括適応度である。そして一つだけが集団に依存する──ある個体の W が 2.0、m が +0.693147 のまま変わらないのに、周りを入れ替えるだけで w が 1.3333 から 0.8000 へ落ちる。 w=1 が境なので、同じ個体が有利から不利になる──その個体は何一つ変わっていない。世代をまたぐとまた別の落とし穴がある──W の算術平均は 1.25 で増えるように見えるのに、実際の 4 世代後は 1.000000 倍である。足せるのは対数(マルサス係数)だけであり、これは論文292 が収益率について示したのと同じ構造である。包括適応度はさらに数える集合が違う──ハミルトン則で、兄弟 2 人といとこ 8 人がどちらもちょうど 1.0 になる。分けるものは一つ──何で割ったか、そして何を数えたか。集団に依存するのは、集団平均で割ったものだけである。依存は割り算から入っており、生物の性質から入っているのではない。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。