Generous Sets

Abstract

<jats:p> We investigate the notion of generosity, a particular case of non-selfishness. Let <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\cal F</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script">F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> be a family of sets in <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\mathbb{R}^k</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . A set <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">M \subset \mathbb{R}^k</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is called <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\cal F</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script">F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> -convex if for any points <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">x,y\in M</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> there is a set <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">F\in \cal F</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi mathvariant="script">F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> such that <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">x,y\in F</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> and <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">F\subset M</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . We call a family <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\cal F</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script">F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> of compact sets complete if <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\cal F</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script">F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> contains all compact <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\cal F</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script">F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> -convex sets. A single convex body <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">K</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> will be called generous, if the family of all convex bodies isometric to <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">K</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is not complete. We investigate here the generosity of convex bodies. </jats:p>