Средние значения функций Чебышeва с экспоненциальным весом в коротких интервалах

Abstract

Для средних значений функций Чебышeва с экспоненциальным весом степени $n$ в коротких интервалах $$ t_n(x;q,y,\lambda)=\sum_{\chi\bmod q}|\sum_{x-y<m\le x}\Lambda(m)\chi(m)e(\lambda m^n)|,\qquad \mathscr{L}=\ln xq $$ при $y\ge\sqrt{x} \mathscr{L}^2$, $q\le x^3y^{-3}$, $|\lambda|\le(x^{n-2}y^2)^{-1}$ и $n\ge1$ получена оценка $$ t_n(x;q,y,\lambda)\ll x^{\frac12+\frac3{10}\varepsilon}q+x^{\frac n3+\frac3{10}\varepsilon} + y^\frac12q|\lambda|^\frac13+ x^\frac3{10}y^\frac12q^\frac12\mathscr{L}^{30}+y\mathscr{L}^{30}. $$ Из этой оценки для коротких тригонометрических сумм с простыми числами при $\theta\ge\frac35$, $q\le x^{3-3\theta}$, $(a,q)=1$, $|q\alpha-a|\le x^{-n+2-2\theta}q$ следует оценка $$ \sum_{x-x^\theta<m\le x}\Lambda(n)e(\alpha m^n)\ll x^{\frac23-\frac16\theta+\frac13\varepsilon}q^\frac12+(x^{\frac3{10}+\frac12\theta} +x^\theta q^{-\frac12})(\tau(q))^{\frac{\ln n}{\ln2}}\mathscr{L}^{31}, $$ которая, в частности, нетривиальна при $\theta>\frac35+\frac27\varepsilon$, если $P\le q\le\min(x^\frac1{15},x^{3-3\theta})$ и $P\ge \mathscr{L}^{\frac{66}{1-\varepsilon}}$, что является усилением оценок принадлежащих ранее А. В. Кумчеву и Б. Хуану. Библиография: 41 наименование.