Об интегральных характеристиках колебания функций на отрезке и их приложениях

Abstract

Для ограниченной на $[0,1]$ функции $f(x)$ и неубывающей функции $\varphi(x)$, $\varphi(0)=0$, $ \varphi(1)=1$, вводится их совместная характеристика $(p, \varphi)$-колебание $$ \Omega_p(f | \varphi) :=(\int_0^1 \Omega(f; \langle \varphi(x), x \rangle)^p dx )^{1/p},\qquad p>0, $$ где $\langle \varphi(x), x \rangle$ - отрезок с концами $\varphi(x)$ и $x$, $\Omega(f; \langle \varphi(x), x \rangle)$ - колебание функции $f$ на этом отрезке. Устанавливаются неулучшаемые оценки сверху $(p, \varphi)$-колебания через $r$-вариации функций $f$ и значения $\|x-\varphi(x)\|_q$, $0<q \le \infty$, при условии $r=p(1+1/q)$. Эти оценки используются в задачах равномерного распределения числовых последовательностей. Библиография: 8 названий.