Градиентная модель нестационарной термоупругости для составного стержня

Abstract

Моделирование поведения стержневых микроразмерных конструкций имеет большое практическое значение для проектирования термоэлектрических устройств. Ранее проведенные исследования не учитывали совместного влияния теплового и механического масштабных параметров на распределение температуры и смещений составных тел. Это приводило к большим расхождениям расчетов и экспериментальных данных. Мы исследуем задачу уточнения нестационарного термонапряженного состояния составного микростержня. Один торец стержня защемлен и находится при нулевой температуре, а на другом задан нестационарный тепловой поток. Получена обобщенная (градиентная) модель термоупругости для составного микростержня в квазистатической постановке. В определяющие соотношения данной модели вводим тепловой масштабный параметр, а в выражении для теплового потока учитываем градиенты температуры второго порядка. Постановка градиентной модели включает уравнения теплопроводности и равновесия более высокого порядка по сравнению с классической теорией и расширенный список граничных условий. В рамках работы построены численно-аналитическое и асимптотическое решения задачи в случае слабой связанности. Задача сведена к последовательному решению задач градиентной теплопроводности и градиентной теории упругости в трансформантах Лапласа. Обращение трансформант осуществлено на основе модифицированного метода Дурбина. Решение сингулярно возмущенной задачи теплопроводности построено с помощью асимптотического подхода. Выражения для температуры представлены в виде суммы классического решения и погранслойных функций. Обнаружены следующие эффекты, не описанные ранее: 1) с увеличением масштабного параметра значения температуры возрастают на малых временах; 2) происходит более плавное изменение температуры в окрестности точки сопряжения. Точность асимптотических формул проверена путем сравнения с численно-аналитическим решением. Определены границы их применимости. Представленный подход позволит более точно проводить расчеты на прочность составных микроразмерных тел, например, микробалки и микроцилиндра.